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Regresión lineal

• Pida ayuda sobre lm. Haga una regresión lineal de CPU contra SIZE para el tiempo promedio del sort. Dibuje la recta de regresión usando abline.
• Compruebe las fórmulas para los coeficientes de regresión. Compruebe que $\overline{AVERAGE} = a + b \times \overline{SIZE}$
• Hacer regresión sobre una función no lineal en SIZE (por ejemplo SIZE(log(SIZE)) es lo mismo que hacer regresión lineal sobre los valores de la función.
• Consulte las funciones coef y resid. y predict
• Compruebe que la varianza de los valores observados de AVERAGE es igual a la varianza de los errores mas la varianza de los predecidos. Así la varianza de los observados se divide en varianza explicada y varianza no explicada
• La inferencia estadística consiste en utilizar los resultados de una muestra para sacar conclusiones sobre la población de la que fué sacada. Para hacer inferencia estadística de los valores de la pendiente y el término independiente se supone que
  • Los errores son independientes
  • Normales con media 0 y varianza la misma $\sigma^2$
  De las experiencias anteriores ¿Cree que se cumplen las hipótesis?
• Hacer un plot de un objeto lm. Pruebe también a hacer par(mfrow=c(2,2)) antes del plot.
  • ¿Cómo se comportan los errores contra la recta horizontal y=0?
  • ¿Que es un Q-Q plot? Estandarize los residuos de los datos observados. Ordénelos. ¿Coinciden con las ordenadas dibujadas?
• Haga un summary del objeto lm creado. ¿Que significan los diferentes campos?
• Si denotamos por $\sigma$ la desviación típica de los errores, se tiene que

  $s^2 = \frac{1}{n-2} \Sigma(\hat{y_i} - y_i)^2 = \frac{1}{n-2}\Sigma e_i^2$ es un estimador insesgado de $\sigma^2$. Compruebe que este es el valor del que R informa como Residual standard error. Escriba una función que lo calcule.

• La función $t = (b - \beta) \sqrt{\frac{(N-2) \times var(x)}{var(error)}}$ sigue una t de student con $N-2$ grados de libertad. Aqui se supone que $\beta$ es la pendiente correspondiente al universo del experimento. $b$ es la pendiente encontrada en la muestra.
  • Pida ayuda sobre la función dt y asociadas.
  • Dibuje la función dt para los grados de libertad de un caso de estudio.
  • Calcule el valor de $t = (b - \beta) \sqrt{\frac{(N-2) \times var(x)}{var(error)}}$ para $\beta = 0$. ¿Coincide con el dado por R? ¿Cual es la probabilidad asociada?
  • Encuentre el cuantil del 95 por ciento. Calcule el intervalo de confianza 0.95 para $\beta$.
• $b_1$ es un estimador insesgado de $\beta_1$. El error estándar (en el summary, columna Std. Error) viene dado por: $SE(b_1) = \frac{s}{\sqrt{\Sigma(x_i-\overline{x})^2}}$. Comprúebelo.
• Compruebe que el valor de $t = (b_1 - \beta) \sqrt{\frac{(N-2) \times var(x)}{var(error)}}$ es igual a $t = \frac{b_1 - \beta}{SE(b_1)}$.
• $b_0$ es un estimador insesgado de $\beta_0$. El error estándar (en el summary, columna Std. Error) viene dado por: $SE(b_0) = s \sqrt{\frac{\Sigma x_i^2}{n \Sigma(x_i-\overline{x})^2}}$. Comprúebelo.
• El estadístico $t = \frac{b_0-\beta_0}{SE(b_0)}$ tiene una distribución $t$ de Student con $n-2$ grados de libertad. Compruebe los valores en el summary.

• El cuadrado del coeficiente de correlación (Multiple R-Squared en el summary) es
  $r^2 = \frac{var(predicted)}{var(data)}$
  Esto es, es el cociente entre la varianza explicada y la varianza no explicada. Compruébelo. Escriba una función que lo calcule.

  A $r$ se llama coeficiente de correlación de Pearson. Se le suele dar el signo de la pendiente de la recta de regresión.

• Pida ayuda sobre la función update.
• Escriba un método para la regresión lineal de un objeto benchmark

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